Begining.. sumar? aparentemente algo intuitivo? Parte 2

... Hola a todos:

Continuaré lo que deje inconcluso en la entrada anterior. Demostraremos por inducción ver link para entender algo de inducción) que se cumple que la suma de los $n$ primeros naturales es $\frac{n}{2}(n+1)$, es decir: $$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n}{2}(n+1)$$.

El caso $n=1$ se cumple, como lo vimos anteriormente, luego tenemos nuestra hipotesis inductiva y debemos demostrar que se cumple para $n+1$ (continuando lo que se vio antes), por lo tanto debemos demostrar que  $$\sum_{k=1}^{n+1}k=\frac{n+1}{2}(n+2)$$


Demostracion:

Para demostrar lo que queremos, podemos mejorar un poco 'ultima  expresion y dejarla de la forma
$$\sum_{k=1}^{n}k+ (n+1)=\frac{n+1}{2}(n+2)$$

De lo cual identificamos que el 1er sumando del lado izquierdo  es la parte izquierda de la hipotesis inductiva. (entonces la demostracion se hara sumando a la hipotesis inductiva el termo n+1, lo cual nos deberia conducir al lado derecho de lo que queremos demostrar)

Entonces de la hipotesis inductiva tenemos

$$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n}{2}(n+1)$$

sumamos a ambos lados $(n+1)$ y tenemos
$$\sum_{k=1}^{n}k +(n+1)=\frac{n}{2}(n+1)+(n+1)$$

y sumando lo del lado derecho queda
$$\sum_{k=1}^{n}k +(n+1)=\frac{n(n+1)+2n}{2}$$
factorizamos por n+1
$$\sum_{k=1}^{n}k +(n+1)=\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}$$
$$\sum_{k=1}^{n}k +(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$$

y en el lado izquierdo incluimos el termino (n+1) en la sumatoria y demostramos lo que queriamos.
$$\sum_{k=1}^{n+1}k =\frac{(n+1)}{2}(n+2)$$