Leyes de la Física : Begining.. sumar? aparentemente algo intuitivo?

Hoy junto con mi hermano, iSaias, decidi crear un blog, con el fin de plasmar las cosas que he aprendido a lo largo de mi corta vida (22 años).

Hoy explicaré o "vomitaré" una de las primeras cosas que aprendi, y es... Aprender a sumar!!!

Si bien, es algo "intuitivo" contar, por lo que sumar aparentemente también lo es, pero al menos para mi no y fue una de las primeras cosas que aprendi cuando tenia 16 años...

.....no sabía sumar :-(...

..Pero en fin, hoy daré algunas luces de que sumar puede traernos algunos problemas, pero si lo hacemos en el orden correcto, nos traerá algunas sorpresas gratificantes :).

Si preguntara ¿Puedes sumar desde el número $1$ hasta número $10$ ?, ¿serías capaz?.

La respuesta para cualquier persona sería "obvio".Pues claro, todos realizamos la operación de sumar de a pares y de forma iterativa, es decir, $1+2=3$ , $3+3=4$, $4+4=8$, $8+5=13$... y así hasta llegar al $10$. Bien! trabajo completo, la suma da $55$ (es fácil de comprobar :P).

Cambiemos ligeramente la pregunta anterior por una como la siguiente

¿Puedes sumar desde el número $1$ hasta número $10$ en $2$ segundos?, ¿Serías capaz?

Y acá es donde sumar ya no es "obvio", y pasarán varios segundos hasta dar con la respuesta, lo que claramente responderia a nuestra interrogante como "No, creo que no puedo", ahora esto es algo como un desafío matemático ¿no?,pero no, no es un desafío matemático (al menos para mi), si no mas bien, un imperativo a que podemos sumar rapidamente, pero para lograrlo, debemos "saber" sumar. En el caso anterior, sumamos los números desde el 1 hasta el 10 de a pares y en un orden de menor a mayor, pero y si cambiamos el orden con el cual sumamos? Es decir, para qué sumar el 1 con 2 y el resultado con 3 y así iterativamente, nadie nos obliga a hacer eso, solamente que estamos acostumbrados a hacerlo. Veamos que sucede si sumamos en el orden siguiente: El primero con el ultimo, el segundo con el penultimo, y asi hasta acabar con la totalidad de números que queremos sumar, osea:

es decir, queremos sumar

y en un principio lo sumamos en ese orden pero si cambiamos ligeramente lo anterior tenemos

con lo que obtenemos

Obtenemos el mismo resultado, es lo esperado, solo cambiamos el orden de los sumandos (Ley asociativa de la suma), pero de una forma mas corta que en la primera vez, solo tenemos que sumar una cantidad determinada de 11, y cuantos 11 tenemos que sumar?, la respuesta aflora, exactamente 5 veces, o mejor dicho la mitad del total de numeros que queriamos sumar, lo cual es logico, sumamos de a pares, por lo que habran 5 pares de numeros que tendremos que sumar. Entonces podemos deducir de lo anterio que la suma es simplemente igual a

y de manera mas clara aun podemos dejarlo como

Pero por qu'e dejarlo todo en funcion del ultimo numero?, pues es bastante util, sabiendo que si queremos sumar desde el 1 hasta el numero 100( por ejemplo), no tenemos que hacer todo lo anterio, solo basta con sumar 100+1 y multiplicar por la mitad de 100 es decir $\frac{100}{2}\cdot(100+1)=50*101=5050$ y ese es el resultado final.

Podemos generalizar esto, y decir, la suma de los primeros $n$ naturales viene dada por